3D-Transformationen

• analog zu 2D-Transformationen: basierend auf Linearkombinationen und homogenen Koordinaten

mathematische Grundlagen

3D-Translation

• analog 2D mit Translationsmatrix basierend auf homogener Variante des Punktes:

  $\begin{array}{c}\underset{―}{\tilde{P}}=\left(\begin{array}{c}\tilde{x}\\ \tilde{y}\\ \tilde{z}\\ 1\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\ast \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)=T_t\ast \underset{―}{P}\end{array}$$\underline{\tilde P} = \begin{pmatrix}\tilde x\\ \tilde y \\ \tilde z\\ 1\end{pmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & t_x\\0 & 1 & 0 & t_y\\0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} * \begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix} = T_t * \underline P$

• $\begin{array}{c}\underset{―}{P}=\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\\ p_4\end{array}\right)\in {\mathbb{H}}^3\end{array}$$\underline P = \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\\p_4\end{pmatrix} \in \H^3$

• kartesische Koordinaten für $P$$P$ können durch Division mit letzter Koordinate berechnet werden:

  $\begin{array}{c}P=\left(\begin{array}{c}\frac{p_1}{p_4}\\ \frac{p_2}{p_4}\\ \frac{p_3}{p_4}\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3\end{array}$$P = \begin{pmatrix}p_1\over p_4 \\ p_2\over p_4 \\ p_3\over p_4\end{pmatrix} \in \R^3$

3D-Skalierung

• analog 2D mit Skalierungsmatrix basierend auf homogener Variante des Punktes:

  $\begin{array}{c}\underset{―}{\tilde{P}}=\left(\begin{array}{c}\tilde{x}\\ \tilde{y}\\ \tilde{z}\\ 1\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\ast \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)=T_s\ast \underset{―}{P}\end{array}$$\underline{\tilde P} = \begin{pmatrix}\tilde x\\ \tilde y \\ \tilde z\\ 1\end{pmatrix} = \begin{bmatrix}s_x & 0 & 0 & 0\\0 & s_y & 0 & 0\\0 & 0 & s_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} * \begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix} = T_s * \underline P$

3D-Rotation

• Unterscheidung, um welche Achse rotiert werden soll

• Beispiel: Rotation um z-Achse:

  $\begin{array}{c}\underset{―}{\tilde{P}}=\left[\begin{array}{cccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0& 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\ast \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)=T_{r_z}\ast \underset{―}{P}\end{array}$$\underline{\tilde P} = \begin{bmatrix}\cos \alpha & - \sin \alpha & 0 & 0\\\sin \alpha & \cos \alpha & 0 & 0\\\color{blue}0 & \color{blue}0 & \color{red}1 & \color{blue}0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} * \begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix} = T_{r_z} * \underline P$

• hierbei: entsprechender Wert der Rotationsachse in Matrix ist = 1, die anderen Werte in der Zeile = 0

• bei Rotation um x-Achse wäre dementspechend die erste Zeile:

  $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\end{array}\right]$$\begin{bmatrix}\color{red}1 & \color{blue}0 & \color{blue}0 & \color{blue}0\end{bmatrix}$

OpenGL

• $4\times 4$$4\times 4$-Transformationsmatrizen für homogene Punkte werden als Float-Array repräsentiert: GLfloat T[16];

• in openGL spaltenweise abgelegt

• üblerweise zeilenweise abgelegt

• alle Transformationen werden auf GL_MODELVIEW-Matrix ausgeführt

  • MODELVIEW-Matrix übersetzt in Kamerakoordinatensystem

  • Aktivierung durch glMatrixMode(GL_MODELVIEW);

  • Beispiele:

    glLoadIdentity, glLoadMatrix, glMultMatrix glRotate, glScale, glTranslate, glPushMatrix, glPopMatrix

    erzeugen entsprechende Transformationsmatrix und multiplizieren diese von rechts an aktuelle Modelview-Matrix

    Dadurch ist die Reihenfolge der Transformationen umgekehrt zur Reihenfolge im Code

  • glLoadIdentity setzt GL_MODELVIEW auf $4\times 4$$4 \times 4$-Einheitsmatrix zurück

Rotation in 3D: Eulerwinkel

• Rotation um beliebige Achse durch Rotation um einzelne Achsen hintereinander

  Das ursprüngliche Koordinatensystem bleibt dabei unbewegt/erhalten. Wegen Multiplikation von rechts ist die Reihenfolge im Code genau umgekehrt.

• Alternative Interpretation:

  Koordinatensystem wird mitgedreht. Hierbei wird die Multiplikationsreihenfolge von links nach rechts betrachtet.

313-Konvention / x-Konvention

• mehrfache Rotation um gleiche Achse

• Beispiel:

  $\underset{―}{\tilde{P}}=T_{r_z}{T}_{r_x}{T}_{r_z}\ast \underset{―}{P}$$\underline{\tilde P} = T_{r_z}T_{r_x}T_{r_z} * \underline P$

Gimbal Lock

• Wird in obigem Beispiel $T_{r_x}$$T_{r_x}$ um $\alpha =0\mathrm{°}$$\alpha = 0 \degree$ oder $\alpha =180\mathrm{°}$$\alpha = 180 \degree$ gedreht, sind erste und letzte Drehachse parallel und ein Freiheitsgrad entfällt

Rotationsmatrizen

• Eigenschaften

  • invertierbar durch Transponieren: $R^{-1}=R^T$$R^{-1} = R^T$
  • nicht kommutativ

Quaternionen

• Motivation

  • Eulerwinkel sind unstetig, z.B. Risiko des Gimbal Lock

  • erzeugende Eulerwinkel aus gegebener Rotationsmatrix u.U. nicht eindeutig

  • können im Gegensatz zu Rotationsmatrizen linear interpoliert werden.

    z.B. für Animationen

• bestehen aus 4 Komponenten

  • Skalar $s$$s$
  • Vektor v

  $\begin{array}{c}q=\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ q_3\\ q_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}s\\ v_x\\ v_y\\ v_z\end{array}\right)\end{array}$$q = \begin{pmatrix}q_1\\q_2\\q_3\\q_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}s\\v_x\\v_y\\v_z\end{pmatrix}$

• Repräsentation von Rotationen (um beliebige Achse n um Winkel $\alpha$$\alpha$) mit $|q|=1$$|q| = 1$:

  $\begin{array}{c}q=\left(\begin{array}{c}s\\ v_x\\ v_y\\ v_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos \frac{\alpha }{2}\\ n_x\sin \frac{\alpha }{2}\\ n_y\sin \frac{\alpha }{2}\\ n_z\sin \frac{\alpha }{2}\end{array}\right)\end{array}$$q = \begin{pmatrix}s\\v_x\\v_y\\v_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos {\alpha \over 2}\\n_x \sin {\alpha \over 2}\\n_y \sin {\alpha \over 2}\\n_z \sin {\alpha \over 2}\end{pmatrix}$

• Quaternionen-Multiplikation:

  • nicht kommutativ

  • kann zur Verkettung von Rotationen verwendet werden

  • Inversion möglich durch Flippen der letzten 3 Komponenten

    $\begin{array}{c}{q}^{-1}=\left(\begin{array}{c}s\\ -v_x\\ -v_y\\ -v_z\end{array}\right)\end{array}$$q^{-1} = \begin{pmatrix}s\\-v_x\\-v_y\\-v_z\end{pmatrix}$

• Rotation

  • Punkt $p$$p$, der mit Quaternion rotiert werden soll, muss selbst als Quaternion dargestellt werden:

    $\begin{array}{c}p=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\to p_q=\left(\begin{array}{c}0\\ x\\ y\\ z\end{array}\right)\end{array}$$p = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \rightarrow p_q = \begin{pmatrix}0\\x\\y\\z\end{pmatrix}$

  • Quaternion q kann in Rotationsmatrix konvertiert werden